Quadratische Funktionen f(x) = (x + d)² | sofatutor.com (2024)

Einführung: quadratische Funktionen der Form f(x) = (x + d)² einfach erklärt

Die Normalparabel ist die einfachste quadratische Funktion. Sie besitzt die Funktionsgleichung $f(x) = x^{2}$. Ihr Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(0 \vert 0)$. Die Normalparabel kann durch verschiedene Parameter verändert werden.
Im Folgenden betrachten wir quadratische Funktionen der Form $f(x) = (x + d)^{2}$. Dabei klären wir die Fragen:

• Welchen Einfluss hat der Parameter $d$ aus der quadratischen Funktion?
• Wie sieht eine Funktion der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ aus?

Wie zeichnet man die Funktion f(x) = (x + d)²?

Funktionen lassen sich am einfachsten grafisch darstellen, indem man zunächst eine Wertetabelle aufstellt und im Anschluss die Werte in ein Koordinatensystem einträgt. So können wir auch bei Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ zunächst eine Wertetabelle aufstellen. Betrachten wir als Beispiel die Wertetabelle der quadratischen Funktion $f_1(x) = (x+1)^{2}$:

Eingetragen in ein Koordinatensystem sehen wir, dass die Funktion wie eine Normalparabel verläuft, die um eine Einheit nach links verschoben wurde. Der Scheitelpunkt dieser Funktion liegt bei $S_1(-1 \vert 0)$.

Betrachten wir als weiteres Beispiel die Funktion $f_2(x) = (x-1)^{2}$. Auch hier stellen wir zunächst eine Wertetabelle auf.

Tragen wir die Werte in ein Koordinatensystem ein, so sehen wir, dass $f_2(x)$ ebenfalls wie eine Normalparabel verläuft. Allerdings ist sie um eine Einheit nach rechts verschoben. Ihr Scheitelpunkt liegt bei $S_2(1 \vert 0)$.

Beide Funktionen gehören zu den quadratischen Funktionen der Form $f(x) = (x+d)^{2}$. Bei der ersten Funktion ist $d$ größer als $0$ und die Funktion ist um $d$ Einheiten nach links verschoben. Bei der zweiten Funktion ist $d$ kleiner als $0$ und die Funktion ist um $d$ Einheiten nach rechts verschoben. Wir schließen daraus:

• Ist $\mathbf{d>0}$, dann ist die Parabel um $d$ Einheiten nach links verschoben.
• Ist $\mathbf{d<0}$, dann ist die Parabel um $d$ Einheiten nach rechts verschoben.

Der Funktionsgraph entspricht demnach einer verschobenen Normalparabel. Mit diesem Wissen benötigen wir keine Wertetabellen, um Funktionen der Form $f(x) = (x+d)^{2}$ grafisch darstellen zu können.

Funktionen der Form f(x) = (x + d)² ohne Wertetabelle zeichnen

Mit dem Wissen, dass $d$ die Funktion entlang der $x$-Achse verschiebt, diese jedoch weiterhin wie eine Normalparabel verläuft, können wir quadratische Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ ganz einfach ohne Wertetabelle zeichnen. Betrachten wir dafür zwei weitere Beispiele:

$f_3(x) = (x+2)^{2}$
$f_4(x) = (x-3)^{2}$

Da $d$ im Funktionsterm von $f_3(x)$ positiv ist, ist der Funktionsgraph der Parabel nach links verschoben. Ihr Scheitelpunkt befindet sich bei $S_3(-2 \vert 0)$.
Bei $f_4(x)$ ist $d$ hingegen negativ, weshalb der Graph der Funktion nach rechts verschoben ist. Ihr Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S_4(3 \vert 0)$.

Der Parameter $d$ verschiebt den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion. Dieser kann jedoch nicht nur aus dem Funktionsgraphen, sondern bereits aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ liegt immer bei:

$S(-d \vert 0)$

Die erste Koordinate entspricht dem Parameter $d$ jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen, da die Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung entlang der $x$-Achse stattfindet.

Funktionsgleichung von f(x) = (x + d)² aufstellen

Da wir aus der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen können, lässt sich umgekehrt aus einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung ablesen. Betrachten wir dafür die folgenden beiden Parabeln:

Der Scheitelpunkt von $f_5(x)$ liegt bei $S_5(-3 \vert 0)$. Die Parabel ist also um drei Einheiten nach links verschoben. Daraus können wir die Funktionsgleichung ableiten:

$f_5(x)=(x - (-3))^{2} = (x+3)^{2}$

Der Scheitelpunkt von $f_6(x)$ liegt bei $S_6(1,5 \vert 0)$. Die Parabel ist also um $1,5$ Einheiten nach rechts verschoben. Daraus können wir die Funktionsgleichung ableiten:

$f_5(x)=(x-1,5)^{2}$

Allgemein gilt:
Für den Scheitelpunkt $S(x_s \vert 0)$ lässt sich die Funktionsgleichung $f(x) = (x - x_s)^{2}$ ableiten, mit $d=-x_s$.

Zusammenfassung: quadratische Funktionen der Form f(x) = (x + d)²

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal die wichtigsten Eigenschaften von Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ zusammen.

• Quadratische Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$ sind um $d$ Einheiten entlang der $x$-Achse verschoben.
• Für $d>0$ findet eine Verschiebung nach links und für $d<0$ eine Verschiebung nach rechts statt.
• Der Scheitelpunkt lässt sich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Er liegt bei $S(-d \vert 0)$.
• Durch Ablesen des Scheitelpunkts aus dem Graphen lässt sich die Funktionsgleichung aufstellen. Dabei muss der Vorzeichenwechsel beachtet werden.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Quadratische Funktionen der Form $f(x)=(x+d)^{2}$.